Окончил Алма-Атинское художественное училище в 1965 году. Работал в Алма-Атинском ТЮЗе и Академическом театре оперы и балета им. Абая («Севильский цирюльник» Дж. Россини, «Кармен-сюита» Ж. Бизе-Р. Щедрина, «Щелкунчик» П.И. Чайковского, «Гамлет» А. Исакова, «Ромео и Джульетта» С.С. Прокофьева).
Широкую известность Э. Гейдебрехту принесли работы в Свердловском (ныне — Екатеринбургском) академическом театре оперы и балета («Борис Годунов» М.П. Мусоргского, «Пророк» В. Кобекина, «Антигона» В. Лобанова, «Сказание о невидимом граде Китеже и деве Февронии» Н.А. Римского-Корсакова, «Гаянэ» А.И. Хачатуряна). Вместе с режиссером Александром Тителем и дирижером Евгением Бражником Эрнст Гейдебрехт был одним из творцов «свердловского феномена», о котором восторженно писали оперные критики начала 1980-х.
В 1984–1990 Э. Гейдебрехт — главный художник Большого театра Белоруссии («Война и мир» С.С. Прокофьева, «Кавалер роз» Р. Штрауса, «Дикая охота короля Стаха» В. Солтана, «Лебединое озеро» Чайковского, «Кармина бурана» К. Орфа, «Весна священная» И.Ф. Стравинского, «Болеро» М. Равеля).
С 1990 года живет в Германии. Работает в театрах Германии, Швейцарии, Португалии. Сотрудничает с Московским театром Новая Опера («Травиата» Дж. Верди, «Сельская честь» П. Масканьи, «Паяцы» Р. Леонкавалло),Ростовским музыкальным театром («Евгений Онегин» и «Лебединое озеро» Чайковского, «Шехеразада» Римского-Корсакова, «Болеро» Равеля, «Орфей в аду» Ж. Оффенбаха),Пермским театром оперы и балета («…по имени Русалочка» А. Дворжака, «Орфей» К. Монтеверди) и другими.
Среди работ Э. Гейдебрехта также многочисленные драматические спектакли.
Участие в постановках театра:
«Паяцы» Р. Леонкавалло — сценография
«Сельская честь» П. Масканьи — сценография
«Травиата» Дж. Верди — сценография