В 2008 окончил Тамбовский государственный музыкально-педагогический институт имени С.В. Рахманинова. В 2012 году защитил кандидатскую диссертацию по искусствоведению на тему «Ценностные ориентиры искусства авангарда ХХ века».
Участвовал в дирижерских мастер-классах Курта Мазура и Владимира Федосеева. В 2005–2008 годах стажировался в оперной студии Российской академии музыки имени Гнесиных.
С 2021 года является художественным руководителем и главным дирижером Академического симфонического оркестра имени С.В. Рахманинова (Тамбов). Коллектив под руководством Алексея Моргунова осуществил видеозапись всех симфоний и фортепианных концертов Рахманинова, провел более 150 концертов в Тамбове и во всех городах Тамбовской области, ежегодно проводит фестиваль «Красная аллея».
Алексей Моргунов сотрудничает с симфоническим оркестром Мариинского театра, Большим симфоническим оркестром имени П.И. Чайковского, Государственным академическим симфоническим оркестром имени Е.Ф. Светланова, Государственным академическим симфоническим оркестром Республики Татарстан, Симфоническим оркестром Пермского оперного театра, Уральским молодежным симфоническим оркестром, Воронежским академическим симфоническим оркестром, Магнитогорской государственной хоровой капеллой, детским хором «Весна» и другими.
В 2023–2024 дирижировал спектаклями Мариинского театра («Риголетто»
Дж. Верди, «Богема» Дж. Пуччини). В 2019 году в Ельце на открытом воздухе дирижировал оперу «Легенда о граде Ельце» А. Чайковского (режиссер-постановщик – Г. Исаакян, сценография Э. Гейдебрехта).
Выступал с Д. Мацуевым, Н. Луганским, Б. Березовским, Д. Маслеевым, С. Давыдченко, И. Бессоновым, А. Ключко, Е. Геворгян, В. Лисицей, Г. Айбулусом, Г. Казазяном, П. Милюковым, Г. Муржей, А. Тростянским, А. Никогосян, С. Поспеловым, А. Раммом, В. Степановым, С. Кипрской, И. Стачинской, О. Перетятько, Л. Петровой, И. Морозовым и другими.
Участвовал в Московском Пасхальном фестивале В. Гергиева, фестивалях «Звезды белых ночей», «Денис Мацуев представляет…», «Московская осень» и других.
Осуществил премьеры сочинений А. Чайковского, К. Бодрова, Е. Подгайца, М. Броннера, О. Викторовой, О. Ростовской, Д. Хорова, Т. Чудовой, Т. Сергеевой, А. Ветлугиной, Н. Хондо, М. Шмотовой, Е. Карпенко, Е. Бриль и других современных авторов.
В 2016–2023 годах был главным дирижером Липецкого государственного оркестра русских народных инструментов.
В 2023 году был исполнительным директором 41-го Международного музыкального фестиваля имени С.В. Рахманинова (художественный руководитель Н. Луганский), в рамках фестиваля провел 55 концертов в городах Тамбовской области.
В 2006–2010 был соучредителем и дирижером частного музыкального театра «Театр-студия оперы имени Сперанских». В рамках деятельности театра
в Тамбовской области в сотрудничестве с оперной студией Российской академии музыки имени Гнесиных было показано более 30 оперных спектаклей:
«Евгений Онегин», Пиковая дама» (обе оперы П.И. Чайковского), «Травиата»
Дж. Верди, «Богема» Дж. Пуччини, «Свадьба Фигаро» В.А. Моцарта,
«Дон Паскуале» Г. Доницетти, «Севильский цирюльник» Дж. Россини.
Преподает в Тамбовском государственном музыкально-педагогическом институте имени С.В. Рахманинова и ДМШ № 2 имени В. К. Мержанова. Учащиеся
и студенты Алексея Моргунова становились лауреатами всероссийских
и международных конкурсов, выступали в России, Италии, Франции,
а так же в качестве солистов с ГАСО имени Е. Светланова, оркестром «Виртуозы Москвы», БСО имени П.И. Чайковского, ГАСО республики Татарстан
и другими. Среди его воспитанников – стипендиаты фонда Владимира Спивакова и фонда «Новые имена».
Звания и призы:
- Лауреат I Международного конкурса пианистов, композиторов и дирижеров имени С.В. Рахманинова (V премия в номинации «Дирижирование», Москва, 2022)
- Победитель зрительского голосования портала ClassicalMusicNews
- Лауреат премии Тамбовской области имени С.В. Рахманинова (2018)
- Лауреат премии Центрального федерального округа в области литературы и искусства (2016)
- Лауреат I Всероссийского музыкального конкурса (I премия в номинации «Дирижирование оркестром народных инструментов, Москва, 2013)